선형 대수 예제

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

단계 1

고유값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.1

특성방정식 $p (λ)$ 를 구하기 위하여 공식을 세웁니다.

$p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$

단계 1.2

크기가 $3$ 인 단위행렬은 주대각선이 1이고 나머지는 0인 $3 \times 3$ 정방행렬입니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 1.3

알고 있는 값을 $p (λ) = 행렬식 (A - λ I_{3})$ 에 대입합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.3.1

$A$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ I_{3})$

단계 1.3.2

$I_{3}$ 에 $[\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$ 를 대입합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - λ [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 1.4

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.1

행렬의 각 원소에 $- λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.1

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.2.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.2.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.3.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.3.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.4.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.4.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ \cdot 1 & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.5

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & - λ \cdot 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.6.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 λ \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.6.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ - λ \cdot 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.7.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 λ & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.7.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & - λ \cdot 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8

$- λ \cdot 0$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.1.2.8.1

$0$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 λ & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.8.2

$0$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \cdot 1 \end{array}])$

단계 1.4.1.2.9

$- 1$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = 행렬식 ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} - λ & 0 & 0 \\ 0 & - λ & 0 \\ 0 & 0 & - λ \end{array}])$

단계 1.4.2

해당하는 원소를 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.4.3.1

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.2

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.4

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.5

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.4.3.6

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = 행렬식 [\begin{array}{c} 1 - λ & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 - λ & 0 \\ 3 & - 11 & 2 - λ \end{array}]$

단계 1.5

Find the determinant.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1

Choose the row or column with the most $0$ elements. If there are no $0$ elements choose any row or column. Multiply every element in row $2$ by its cofactor and add.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.1.1

Consider the corresponding sign chart.

$| \begin{array}{c} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{array} |$

단계 1.5.1.2

The cofactor is the minor with the sign changed if the indices match a $-$ position on the sign chart.

단계 1.5.1.3

The minor for $a_{21}$ is the determinant with row $2$ and column $1$ deleted.

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.4

Multiply element $a_{21}$ by its cofactor.

$- 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.5

The minor for $a_{22}$ is the determinant with row $2$ and column $2$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.6

Multiply element $a_{22}$ by its cofactor.

$(- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$

단계 1.5.1.7

The minor for $a_{23}$ is the determinant with row $2$ and column $3$ deleted.

$| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

단계 1.5.1.8

Multiply element $a_{23}$ by its cofactor.

$0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

단계 1.5.1.9

Add the terms together.

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0 | \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$

단계 1.5.2

$0$ 에 $| \begin{array}{c} 1 - λ & - 4 \\ 3 & - 11 \end{array} |$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 | \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} | + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3

$| \begin{array}{c} - 4 & 2 \\ - 11 & 2 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = - 2 (- 4 (2 - λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 2 (- 4 \cdot 2 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2.1.2

$- 4$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (- 8 - 4 (- λ) - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2.1.3

$- 1$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - (- 11 \cdot 2)) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2.1.4

$- (- 11 \cdot 2)$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.3.2.1.4.1

$- 11$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ - - 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2.1.4.2

$- 1$ 에 $- 22$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (- 8 + 4 λ + 22) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.3.2.2

$- 8$ 를 $22$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) | \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} | + 0$

단계 1.5.4

$| \begin{array}{c} 1 - λ & 2 \\ 3 & 2 - λ \end{array} |$ 의 값을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.1

$2 \times 2$ 행렬의 행렬식은 $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ 공식을 이용해 계산합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) ((1 - λ) (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1

FOIL 계산법을 이용하여 $(1 - λ) (2 - λ)$ 를 전개합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 (2 - λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.2

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ (2 - λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.1.3

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (1 \cdot 2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2

동류항끼리 묶고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.1

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 + 1 (- λ) - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.2

$- λ$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - λ \cdot 2 - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.3

$2$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - λ (- λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ \cdot λ - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 (λ \cdot λ) - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ - 1 \cdot - 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.6

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + 1 λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.1.7

$λ^{2}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - λ - 2 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.2.2

$- λ$ 에서 $2 λ$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 3 \cdot 2) + 0$

단계 1.5.4.2.1.3

$- 3$ 에 $2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (2 - 3 λ + λ^{2} - 6) + 0$

단계 1.5.4.2.2

$2$ 에서 $6$ 을 뺍니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (- 3 λ + λ^{2} - 4) + 0$

단계 1.5.4.2.3

$- 3 λ$ 와 $λ^{2}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4) + 0$

단계 1.5.5

행렬식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.1

$- 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ + 14) + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

단계 1.5.5.2

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.1

분배 법칙을 적용합니다.

$p (λ) = - 2 (4 λ) - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

단계 1.5.5.2.2

$4$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 2 \cdot 14 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

단계 1.5.5.2.3

$- 2$ 에 $14$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 + (- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$

단계 1.5.5.2.4

첫 번째 수식의 항과 두 번째 수식의 항을 각각 곱하여 $(- 7 - λ) (λ^{2} - 3 λ - 4)$ 를 전개합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} - 7 (- 3 λ) - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.5.1

$- 3$ 에 $- 7$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ - 7 \cdot - 4 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.2

$- 7$ 에 $- 4$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ \cdot λ^{2} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.3

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ^{2}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.5.3.1

$λ^{2}$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.3.2

$λ^{2}$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.5.3.2.1

$λ$ 를 $1$ 승 합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - (λ^{2} λ^{1}) - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.3.2.2

지수 법칙 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 을 이용하여 지수를 합칩니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{2 + 1} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.3.3

$2$ 를 $1$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - λ (- 3 λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.4

곱셈의 교환법칙을 사용하여 다시 씁니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ \cdot λ - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.5

지수를 더하여 $λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.2.5.5.1

$λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 (λ \cdot λ) - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.5.2

$λ$ 에 $λ$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} - 1 \cdot - 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.6

$- 1$ 에 $- 3$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} - λ \cdot - 4$

단계 1.5.5.2.5.7

$- 4$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 7 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 3 λ^{2} + 4 λ$

단계 1.5.5.2.6

$- 7 λ^{2}$ 를 $3 λ^{2}$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 21 λ + 28 - λ^{3} + 4 λ$

단계 1.5.5.2.7

$21 λ$ 를 $4 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$

단계 1.5.5.3

$- 8 λ - 28 - 4 λ^{2} + 25 λ + 28 - λ^{3}$ 의 반대 항을 묶습니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.5.5.3.1

$- 28$ 를 $28$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ + 0 - λ^{3}$

단계 1.5.5.3.2

$- 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ$ 를 $0$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 8 λ - 4 λ^{2} + 25 λ - λ^{3}$

단계 1.5.5.4

$- 8 λ$ 를 $25 λ$ 에 더합니다.

$p (λ) = - 4 λ^{2} + 17 λ - λ^{3}$

단계 1.5.5.5

$17 λ$ 를 옮깁니다.

$p (λ) = - 4 λ^{2} - λ^{3} + 17 λ$

단계 1.5.5.6

$- 4 λ^{2}$ 와 $- λ^{3}$ 을 다시 정렬합니다.

$p (λ) = - λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$

단계 1.6

특성다항식이 $0$ 이 되도록 하여 고유값 $λ$ 를 구합니다.

$- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

단계 1.7

$λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1

$- λ^{3} - 4 λ^{2} + 17 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.1.1

$- λ^{3}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - 4 λ^{2} + 17 λ = 0$

단계 1.7.1.2

$- 4 λ^{2}$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) + 17 λ = 0$

단계 1.7.1.3

$17 λ$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ \cdot λ^{2} - λ (4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

단계 1.7.1.4

$- λ (λ^{2}) - λ (4 λ)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ \cdot - 17 = 0$

단계 1.7.1.5

$- λ (λ^{2} + 4 λ) - λ (- 17)$ 에서 $- λ$ 를 인수분해합니다.

$- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$

단계 1.7.2

방정식 좌변의 한 인수가 $0$ 이면 전체 식은 $0$ 이 됩니다.

$λ = 0$

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

단계 1.7.3

$λ$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ = 0$

단계 1.7.4

$λ^{2} + 4 λ - 17$ 이 $0$ 가 되도록 하고 $λ$ 에 대해 식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.1

$λ^{2} + 4 λ - 17$ 를 $0$ 와 같다고 둡니다.

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$

단계 1.7.4.2

$λ^{2} + 4 λ - 17 = 0$ 을 $λ$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.1

근의 공식을 이용해 방정식의 해를 구합니다.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

단계 1.7.4.2.2

이차함수의 근의 공식에 $a = 1$ , $b = 4$ , $c = - 17$ 을 대입하여 $λ$ 를 구합니다.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 17)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.3.1

분자를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.3.1.1

$4$ 를 $2$ 승 합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot - 17$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.3.1.2.1

$- 4$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 17}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.2.2

$- 4$ 에 $- 17$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 68}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.3

$16$ 를 $68$ 에 더합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.4

$84$ 을 $2^{2} \cdot 21$ 로 바꿔 씁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 1.7.4.2.3.1.4.1

$84$ 에서 $4$ 를 인수분해합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.4.2

$4$ 을 $2^{2}$ 로 바꿔 씁니다.

$λ = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.1.5

근호 안의 항을 밖으로 빼냅니다.

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

단계 1.7.4.2.3.2

$2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$λ = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

단계 1.7.4.2.3.3

$\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ 을 간단히 합니다.

$λ = - 2 \pm \sqrt{21}$

단계 1.7.4.2.4

두 해를 모두 조합하면 최종 답이 됩니다.

$λ = - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

단계 1.7.5

$- λ (λ^{2} + 4 λ - 17) = 0$ 을 참으로 만드는 모든 값이 최종 해가 됩니다.

$λ = 0, - 2 + \sqrt{21}, - 2 - \sqrt{21}$

단계 2

The eigenvector is equal to the null space of the matrix minus the eigenvalue times the identity matrix where $N$ is the null space and $I$ is the identity matrix.

$ε_{A} = N (A - λ I_{3})$

단계 3

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + 0 [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 3.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.1

행렬의 각 원소에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.1.2.1

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.2

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.3

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.4

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 1 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.5

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.6

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 \cdot 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.7

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 \cdot 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.8

$0$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \cdot 1 \end{array}]$

단계 3.2.1.2.9

$0$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.2.2

Adding any matrix to a null matrix is the matrix itself.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.1

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 0 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.2.2.2.1

$1$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.2

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 0 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.5

$- 7$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.7

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.8

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 0 \end{array}]$

단계 3.2.2.2.9

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}]$

단계 3.3

Find the null space when $λ = 0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 7 & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 7 - 2 \cdot - 4 & 0 - 2 \cdot 2 & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.1.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \cdot - 4 & 2 - 3 \cdot 2 & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.2.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 - 0 & 1 - 1 & - 4 + 4 & 0 - 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 3.3.2.4.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 4 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 4 \cdot 0 & - 4 + 4 \cdot 1 & 2 + 4 \cdot - 4 & 0 + 4 \cdot 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.2.4.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - 14 & 0 \\ 0 & 1 & - 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 3.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - 14 z = 0$

$y - 4 z = 0$

$0 = 0$

단계 3.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} 14 z \\ 4 z \\ z \end{array}]$

단계 3.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]$

단계 3.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 3.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}]}$

단계 4

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 4.2

간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

각 항을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.3

행렬의 각 원소에 $2 - \sqrt{21}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1.4.1

$2 - \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.2

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.3

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.4

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.5

$2 - \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.6

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.7

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.8

$2 - \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 - \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 4.2.1.4.9

$2 - \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 - \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3

Simplify each element.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.2

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.5

$- 7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.7

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.8

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.2.3.9

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} \end{array}]$

단계 4.3

Find the null space when $λ = - 2 + \sqrt{21}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 - \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 - \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 - \sqrt{21}}{3 - \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 - \sqrt{21}} & \frac{2}{3 - \sqrt{21}} & \frac{0}{3 - \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 - \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 - \sqrt{21} - 2 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 - \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 4 - \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 + \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 + 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 + 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 - \sqrt{21} & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 - \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 - \sqrt{21} - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 - \sqrt{21}}{2} - (- 14 - \sqrt{21}) (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 - \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 + \sqrt{21}}{3} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 + \sqrt{21}}{6} - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 - \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 + \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 4.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

단계 4.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

단계 4.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

단계 4.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 4.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

단계 5

Find the eigenvector using the eigenvalue $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.1

알고 있는 값을 공식에 대입합니다.

$N ([\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] - (- 2 - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}])$

단계 5.2

간단히 합니다.

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단계 5.2.1

각 항을 간단히 합니다.

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단계 5.2.1.1

분배 법칙을 적용합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (- - 2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.2

$- 1$ 에 $- 2$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 - - \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.3

$- - \sqrt{21}$ 을 곱합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.3.1

$- 1$ 에 $- 1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + 1 \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.3.2

$\sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + (2 + \sqrt{21}) [\begin{array}{c} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.4

행렬의 각 원소에 $2 + \sqrt{21}$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5

행렬의 각 원소를 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.2.1.5.1

$2 + \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.2

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.3

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.4

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.5

$2 + \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.6

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.7

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.8

$2 + \sqrt{21}$ 에 $0$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & (2 + \sqrt{21}) \cdot 1 \end{array}]$

단계 5.2.1.5.9

$2 + \sqrt{21}$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 & 0 \\ 3 & - 11 & 2 \end{array}] + [\begin{array}{c} 2 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 0 & 2 + \sqrt{21} & 0 \\ 0 & 0 & 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.2

해당하는 원소를 더합니다.

$[\begin{array}{c} 1 + 2 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3

Simplify each element.

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단계 5.2.3.1

$1$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 + 0 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.2

$- 4$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 + 0 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.3

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 + 0 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.4

$2$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 7 + 2 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.5

$- 7$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 + 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.6

$0$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 + 0 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.7

$3$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 + 0 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.8

$- 11$ 를 $0$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 2 + 2 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.2.3.9

$2$ 를 $2$ 에 더합니다.

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} \end{array}]$

단계 5.3

Find the null space when $λ = - 2 - \sqrt{21}$ .

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단계 5.3.1

Write as an augmented matrix for $A x = 0$ .

$[\begin{array}{c} 3 + \sqrt{21} & - 4 & 2 & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2

기약 행 사다리꼴을 구합니다.

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단계 5.3.2.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

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단계 5.3.2.1.1

Multiply each element of $R_{1}$ by $\frac{1}{3 + \sqrt{21}}$ to make the entry at $1, 1$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} \frac{3 + \sqrt{21}}{3 + \sqrt{21}} & \frac{- 4}{3 + \sqrt{21}} & \frac{2}{3 + \sqrt{21}} & \frac{0}{3 + \sqrt{21}} \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.1.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 & - 5 + \sqrt{21} & 0 & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

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단계 5.3.2.2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 2 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 2 - 2 \cdot 1 & - 5 + \sqrt{21} - 2 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 - 2 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 2 \cdot 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.2.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 & - 11 & 4 + \sqrt{21} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

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단계 5.3.2.3.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - 3 R_{1}$ to make the entry at $3, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 3 - 3 \cdot 1 & - 11 - 3 \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 4 + \sqrt{21} - 3 (- \frac{3 - \sqrt{21}}{6}) & 0 - 3 \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.3.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & - \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3} & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

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단계 5.3.2.4.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $- \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} (- \frac{21 - 5 \sqrt{21}}{3}) & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3}{21 - 5 \sqrt{21}} \cdot 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.4.2

$R_{2}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & - 14 + \sqrt{21} & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

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단계 5.3.2.5.1

Perform the row operation $R_{3} = R_{3} - (- 14 + \sqrt{21}) R_{2}$ to make the entry at $3, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 & - 14 + \sqrt{21} - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 1 & \frac{11 + \sqrt{21}}{2} - (- 14 + \sqrt{21}) (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - (- 14 + \sqrt{21}) \cdot 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.5.2

$R_{3}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.6

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 5.3.2.6.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 & \frac{3 - \sqrt{21}}{3} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 1 & - \frac{3 - \sqrt{21}}{6} - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} (- \frac{7 + \sqrt{21}}{14}) & 0 - \frac{3 - \sqrt{21}}{3} \cdot 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.2.6.2

$R_{1}$ 을 간단히 합니다.

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 1 & - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}]$

단계 5.3.3

Use the result matrix to declare the final solution to the system of equations.

$x - \frac{7 - \sqrt{21}}{14} z = 0$

$y - \frac{7 + \sqrt{21}}{14} z = 0$

$0 = 0$

단계 5.3.4

Write a solution vector by solving in terms of the free variables in each row.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{z}{2} - \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ \frac{z}{2} + \frac{z \sqrt{21}}{14} \\ z \end{array}]$

단계 5.3.5

Write the solution as a linear combination of vectors.

$[\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]$

단계 5.3.6

Write as a solution set.

${z [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}] | z \in R}$

단계 5.3.7

The solution is the set of vectors created from the free variables of the system.

${[\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$

단계 6

The eigenspace of $A$ is the list of the vector space for each eigenvalue.

${[\begin{array}{c} 14 \\ 4 \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}], [\begin{array}{c} \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{21}}{14} \\ \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{14} \\ 1 \end{array}]}$